જો $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એક સતત વિધેય છે જેથી $f(0)=1$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt = 0$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \cos 3x = 0$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(B)$ સમીકરણ $f(x) - 3 \sin 3x = -\frac{6}{\pi}$ ને $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = -1$
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = -1$

જો $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ અને $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ જ્યાં $n \in N$,તો:

જો $I_{n} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n} x \, dx$ હોય,તો:

ધારો કે $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ જ્યાં $x \in R$ એવું વિધેય છે જે $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$ નું સમાધાન કરે છે. તો $(a+b)$ ની કિંમત $............$ છે.

$x, t \in R$ માટે,ધારો કે $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ એ $x$ માં ચલ સહગુણકો ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદીઓનું કુટુંબ છે. ધારો કે $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I$. બધા $t$ માટે $A(t) < 0$.
$II$. $A(t)$ ને અનંત સંખ્યામાં નિર્ણાયક બિંદુઓ છે.
$III$. અનંત સંખ્યામાં $t$ માટે $A(t) = 0$.
$IV$. બધા $t$ માટે $A'(t) < 0$.